Hoofdstuk 2: Een halve eeuw geschiedenis

In 1959 vond in Royaumont bij Parijs een conferentie plaats die een drastische hervorming  beoorde van het tot dan toe starre rekenonderwijs, dat geen goede resultaten opleverde. De nadruk moest gelegd worden op wiskunde als structuur. Het onderwijs moest onder andere aangepast worden aan de opkomst van computers en rekenmachines; de conferentie stond in het teken van economische en technische vooruitgang als maatschappelijk belang. Deze nieuwe vorm van onderwijs, die van grote invloed is geweest in Europa en Amerika, wordt new math genoemd.

In Nederland werd in 1961 de Commissie Modernisering Leerplan Wiskunde (CMLW) opgericht, die de ideeën van de conferentie moest vertalen in leerplanwijzigingen. De opdracht focuste op de ontwikkeling van een nieuw leerplan voor de basisschool, een nieuw programma voor de pabo en het opzetten van de bijscholing van leraren basisonderwijs. De ontwikkelaars van dit plan sloegen al snel een eigen weg in en ontwikkelden nieuwe elementen, zoals handig rekenen, schattend rekenen, meten en meetkunde. In 1979 ontstond ‘realistisch reken- en wiskundeonderwijs’, waarbij gewerkt werd met contexten waar de leerlingen zich iets konden voorstellen.

Het nascholingsprogramma voor de leraren werd in eerste instantie ontvangen met veel enthousiasme. Na verloop van tijd bleek echter dat het in de praktijk toepassen van de ambitieuze idealen niet eenvoudig was, en zetten velen vraagtekens bij de haalbaarheid. Ook werd eind jaren zeventig de structuur van eht basisonderwijs sterk gewijzigd, waardoor de nadruk meer kwam te liggen op het pedagogische aspect van onderwijs. Hierdoor verdwenen andere vakken, waaronder rekenen, soms naar de achtergrond. Het zelfstandig werken deed zijn intrede en er werden kerndoelen geformuleerd, waaraan het traditioneel rekenonderwijs niet voldeed. Er verschenen steeds meer nieuwe ‘realistische’ rekenboeken, die onderling nog sterk verschilden.

De opkomst van de rekenmachine heeft geleid tot discussie. Sommigen vonden dat leerlingen niet meer hoefden te cijferen, anderen wilden de rekenmachine verbieden in het basisonderwijs en weer anderen zagen het apparaat juist als een didactische uitdaging. De discussie over het rekenonderwijs is nog steeds gaande en meer aandacht voor rekenvaardigheid en –didactiek zal gunstig zijn voor de kwaliteit van het rekenonderwijs.

Wat is traditioneel rekenen?

De vroeger gangbare reken- en wiskundedidactiek wordt meestal aangeduid als ‘traditioneel’ of ‘mechanistisch’. Het omschrijven van deze vorm van onderwijs is lastig, omdat er geen sprake is van een uitgewerkte theorie of een expliciete visie. Onder traditioneel rekenen verstaat men rekenen waarbij de leraar de klas één efficiënte standaardmethode aanreikt voor het oplossen van een bepaald type opgave. Deze methode wordt vervolgens intens geoefend, totdat de leerlingen deze beheersen. De overtuiging heerst dat veel leerlingen in verwarring worden gebracht wanneer er bij elk type opgave allerlei verschillende strategieën of methoden aangereikt worden.

Volgens de traditionalisten moet de nadruk dus liggen op het stap-voor-stap aanleren en inoefenen van de twaalf standaardrecepten: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van achtereenvolgens natuurlijke getallen, kommagetallen en breuken. Men gaat er daarbij vanuit dat als gevolg van al het oefenen ook het begrip van en inzicht in de geleerde kennis en vaardigheden vanzelf ontstaat en toeneemt. Tijdens het oefenen hebben contexten geen nut, omdat die afleiden van de essentie. Om diezelfde reden is er ook geen plaats voor gevarieerd en flexibel strategiegebruik. Pas als het niveau van vlotte beheersing van de standaardprocedure bereikt is, is er weer ruimte voor contexten in de vorm van toepassing.

Wat is realistisch rekenen?

Realistisch rekenen (RR) is een didactische theorie die in de zeventiger jaren is ontwikkeld als reactie op het toen gangbare traditioneel rekenen. Uitgangspunt is hier dat het bij het leren van wiskunde niet gaat om het verwerven van een kant-en-klaar-product, een verzameling weetjes, maar dat wiskunde een menselijke activiteit is, die haar oorsprong vindt in alledaagse situaties en de rekenproblemen die daarin opgelost moeten worden. Dit noemt Treffers mathematiseren en hij onderscheidt:

• Horizontaal mathematiseren: het zodanig transformeren van een reëel probleem, dat dit met beschikbare wiskundige middelen aangepakt kan worden.

• Verticaal mathematiseren: de generalisatie van de oplossing, de niveauverhoging, de verkorting, de verdergaande formaliseren van de actuele rekenkundige handelingen, het ontdekken van structuren en patronen.

Treffers formuleerde verder vijf karakteristieke grondprincipes van het realistisch rekenen:

1. Zelf kennis construeren: Begrip en inzicht ontstaan doordat kinderen onder begeleiding van een deskundige leraar gestimuleerd en geholpen worden om uitgaande van een reëel probleem zelf kennis te construeren. Belangrijk is dat de leerling zich bij dit probleem iets kan voorstellen; realistisch rekenonderwijs dus.

2. Niveaus en modellen: Modellen, schema’s, structuren, diagrammen en symbolen zorgen dat de informele eigen aanpak van het kind zich ontwikkelt tot een meer gestructureerde en uiteindelijk abstracte manier.

3. Reflectie op eigen producties: Kinderen worden uitgedaagd te reflecteren op hun eigen producties en handelen, door het stellen van vragen, confronteren met alternatieven of contradicties en het aanwakkeren van discussie.

4. Interactie: Leerlingen leren van en met elkaar door hun strategieën te verwoorden, te vergelijken en eventueel te verdedigen of juist aan te passen.

5. Verstrengeling van leerlijnen: Leerlingen worden gestimuleerd om dwarsverbanden en samenhang binnen de leerstof te ontdekken, waardoor een samenhangend, toepasbaar geheel ontstaat.

Traditioneel versus realistisch rekenen: discussie

Het is lastig om traditioneel rekenen (TR) en realistisch rekenen (RR) te vergelijken, omdat TR in de loop der tijden is ontstaan en alleen achteraf op hoofdlijnen als didactiek beschreven is. RR daarentegen, is ontworpen als didactiek en gebaseerd op een expliciete theorie. Daarnaast bestaat iedere didactiek op verschillende niveaus: in het hoofd van de ontwikkelaar, op schrift in het leerboek, in de perceptie van de leraar en in de praktijk van de klas. De verschillen tussen deze niveaus zijn enorm. Tot slot bestaan er in de praktijk vele versies van met name RR.

De publieke discussie negeert vaak de nuances en heeft het over TR en RR in karikaturale extremen. Sommige deelnemers aan de discussie hebben de neiging door hen niet gewenste elementen in negatieve zin te vervormen: oefenen wordt stampen, de inzet van betekenisvolle contexten wordt een cursus begrijpend lezen genoemd. De kernvraag ‘leidt routine tot begrip of leidt begrip tot routine?’ kijkt niet naar de daadwerkelijke complexiteit van de leerprocessen. Door deze typeringen wordt het onmogelijk om de verschillende standpunten tot elkaar te brengen.

Ondertussen ontstaat in de praktijk van het onderwijs toenadering tussen TR en RR. Realistische rekenmethoden kiezen vaker voor meer oefening, minder snelle afwisseling van onderwerpen en meer aandacht voor schriftelijk rekenen. Traditionele methoden die op de markt komen moeten voldoen aan de kerndoelen en daarom ook aandacht besteden aan elementen uit RR.

RR vraagt in de praktijk ook veel van de leraar, zoals het aansluiten bij strategieën van leerlingen, inspelen op verschillende niveaus, interactieve besprekingen houden etc. RR streeft naar meer en hogere doelen dan TR, waardoor het uitvoeren van RR meer kennis en vakmanschap van de leraar vereist dan het realiseren van TR.

Conclusies

Sommige aspecten van realistisch rekenen zijn minder goed ingevoerd dan de ontwikkelaars oorspronkelijk voor ogen stond. In de praktijk is er te weinig aandacht voor inzicht en abstractie. Traditioneel rekenen zal op het vlak van zowel inhoud als vaardigheden minder beperkt moeten zijn dan hierboven beschreven. Daarnaast zal het kerndoelen als meetkunde, hoofdrekenen en schatten en hogere doelen als toepassingsvaardigheid, redeneren, reflecteren en abstractievermogen niet kunnen negeren.

Hoofdstuk 3: Nationaal en internationaal empirisch onderzoek

Dit hoofdstuk beschrijft de stand van zaken met betrekking tot de rekenvaardigheid van leerlingen in het Nederlandse basisonderwijs. Hierbij wordt gekeken naar nationale peilingen (PPON) en internationale vergelijkingen (TIMSS). Sinds 1986 wordt de PPON uitgevoerd door Cito, op verschillende leerstofgebieden, waaronder rekenen-wiskunde. Hiervoor zijn inmiddels vier peilingen uitgevoerd, in 1987, 1992, 1997 en 2003/2004. We kijken naar de prestaties van groep 8 van de basisschool. TIMSS is een periodiek internationaal georganiseerd vergelijkend onderzoek naar prestaties van leerlingen op het gebied van science en mathematics in grade 4 (groep 6) en grade 8 (tweede klas middelbare school). TIMSS is afgenomen in 1995 en 2003 en deels in 2007. Hierbij kijken we naar de resultaten van leerlingen in groep 6.

PPON: Periodieke peiling van het onderwijsniveau

In het algemeen zijn er drie manieren om het niveau van rekenvaardigheid weer te geven: (1) in de vorm van veranderingen in de tijd, (2) het niveau vergeleken met een vastgestelde standaard en (3) de relevante verschillen tussen leerlingen.

Veranderingen in de tijd

De prestaties op het gebied van getallen en getalrelaties en van schattend rekenen zijn sterk vooruitgegaan over tijd, terwijl die van alle bewerkingen (optellen, aftrekken etc.; cijferend rekenen) sterk achteruit zijn gegaan. Deze daling is het sterkst bij vermenigvuldigen en delen. Bij hoofdrekenend optellen en aftrekken en procenten is sprake van een matig grote verbetering.

Verklaring van veranderingen in het peil

Er is nog weinig onderzoek gedaan om de veranderingen in het peil te verklaren, maar onderzoek van de Universiteit Leiden lijkt erop te wijzen dat de verklaring in ieder geval deels ligt in een verandering in het notatiegedrag van de leerlingen. Schriftelijke uitwerkingen van realistische oplossingsstrategieën komen relatief weinig voor en namen nauwelijks toe tussen 1997 en 2004. Vooral jongens maken minder gebruik van traditionele cijferstrategieën en beantwoorden vaker de vragen zonder een schriftelijke berekening te geven. Dit leidt over het algemeen tot slechtere resultaten, wat dus een verklaring zijn voor het dalen van het peil. Ook nam tussen 1997 en 2004 het succes van alle afzonderlijke strategieën bij de bewerkingen voor delen en vermenigvuldigen significant af. Om dit laatste te verklaren is nieuw onderzoek nodig.

Niveau ten opzichte van vastgestelde standaarden

Cito bepaalt ook de absolute waarde van het peil, dit gebeurt met behulp van standaarden voor ‘minimale’, ‘voldoende’ en ‘gevorderde’ beheersing van elk onderwerp. Bij iedere peiling wordt nagegaan hoeveel procent van de Nederlandse leerlingen aan deze standaarden voldoet. De standaard ‘voldoende’ is zo gesteld dat 70 tot 75% van de leerlingen deze zou moeten halen. In de PPON-2004 halen de Nederlandse leerlingen deze standaard alleen bij het onderwerp basisoperaties: optellen en aftrekken. Hierbij is ook het peil verbeterd sinds de peiling van 1997. Bij andere onderwerpen komen de leerlingen wel in de buurt van het peil ‘voldoende’, maar bij driekwart van de onderwerpen is er een aanzienlijk verschil tussen de standaard ‘voldoende’ en het daadwerkelijk bereikte peil. Zo zijn er drie bewerkingsonderwerpen waarbij het peil sterk gedaald is en bij meten van lengte en van oppervlakte is de kloof tussen standaard en peil onveranderlijk groot. Getallen en getalrelaties en schattend rekenen zijn duidelijk vooruitgegaan, maar blijven toch nog steeds ver onder de standaard. Overigens laat het rapport zien dat de rekenresultaten halverwege groep 8 over vrijwel de gehele linie gemiddeld beter waren en de standaarden dichter benaderden dan aan het eind van groep 8.

Verschillen tussen leerlingen

Net als bij eerdere peilingen, zijn ook bij de PPON-2004 verschillen tussen groepen leerlingen en tussen scholen gevonden. De kenmerken waarop is vergeleken zijn formatiegewicht (indicatie van sociaal-economische achtergrond), geslacht en leertijd (is een leerling vertraagd of niet). Op schoolniveau wordt gekeken naar sociaal-economische samenstelling en de gebruikte rekenmethode.

Formatiegewicht

Op vrijwel alle onderwerpen hebben Nederlandse arbeiderskinderen (formatiegewicht 1,25) en kinderen met ten minste één ouder van niet-Nederlandse herkomst (formatiegewicht 1,90) een achterstand ten opzichte van de overige leerlingen (formatiegewicht 1,00). De 1,90-leerlingen hebben op het gebied van meten en meetkunde een lichte achterstand op de 1,25-leerlingen, op de gebieden getallen en bewerkingen en verhoudingen, breuken en procenten is tussen hen geen verschil te zien.

Jongens-meisjes

Op de meeste onderdelen presteren jongens beter dan meisjes. Op de complexere bewerkingsopgaven die op papier mogen worden uitgerekend, presteren meisjes echter beter dan jongens.

Leertijd

Leerlingen met een vertraging in hun schoolloopbaan hebben een matige achterstand ten opzichte van de reguliere, niet vertraagde leerlingen.

Stratum van de school

Stratum 1 = scholen met vooral kinderen van ouders met afgeronde vervolgopleiding, weinig allochtone leerlingen.

Stratum 2 = scholen met relatief meer Nederlandse arbeiderskinderen, ook weinig allochtone kinderen.

Stratum 3 = scholen met vooral Nederlandse arbeiderskinderen en allochtone kinderen.

Leerlingen op stratum 2-scholen presteren iets beter dan op stratum 1-scholen. Leerlingen in stratum 3-scholen presteren licht tot matig slechter dan leerlingen uit de andere strata.

TIMSS: Trends in international mathematics and science study

Hieronder worden de resultaten van TIMSS-2007 samengevat van de prestaties van Nederlandse leerlingen in groep 6 op het onderdeel rekenen en wiskunde, ook in vergelijking met andere landen. Deze worden vergeleken met de prestaties in 2003 en 1995.

Opzet TIMSS

De TIMSS rekentoets bevat 179 opgaven uit de domeinen getallen, geometrische vormen en meten en  gegevensweergave. Omdat er hoge eisen aan de deelname worden gesteld en de deelnamebereidheid onder Nederlandse scholen vaak laag is, is het moeilijk om aan de eisen te voldoen. Nederland is in 2007 netaan opgenomen in het rapport, omdat we bijna voldeden aan de respons-eisen.

Prestaties leerlingen in groep 6 op de reken- en wiskundetoets

Nederland heeft een gemiddelde score van 535 (het gemiddelde op de gestandaardiseerde schaal is 500). De spreiding is klein, de toetsscores liggen relatief dicht bij elkaar. Nederlandse leerlingen presteren dus gemiddeld significant boven het TIMSS-schaalgemiddelde. Alleen Aziatische landen presteren significant beter. Overigens is de dekkingsgraad van de TIMSS-toets vergeleken met het Nederlandse rekenonderwijs slechts 65 procent. Rekenonderdelen als hoofdrekenen en schattend rekenen kwamen in de TIMSS niet aan bod. Voor rekenen lijkt er sinds 1995 een geleidelijke afname te zijn in toetsprestaties van de Nederlandse groep 6-leerlingen. Als deze trend zich doorzet, dreigt Nederland langzamerhand door een aantal landen te worden ingehaald, die wel verbetering laten zien.

Verschillen in prestaties tussen leerlingen

Jongens-meisjes

Nederlandse jongens presteren op TIMSS-2007 significant beter dan meisjes. Het internationaal gemiddelde laat geen verschillen tussen jongens en meisjes zien. Zowel van jongens als van meisjes zijn de Nederlandse prestaties ten opzichte van 2003 gedaald, voor meisjes is dit ook significant. Ten opzichte van de meting in 1995 laten de jongens in 2007 een sterkere daling zien dan meisjes.

Autochtone-allochtone leerlingen

Nederlandse autochtone leerlingen presteren significant beter dan allochtone leerlingen. Het verschil tussen deze leerlingen is iets toegenomen vergeleken met 2003, met name door een sterke achteruitgang van de prestaties van allochtone meisjes. De achterstand is het grootst op het onderdeel getallen.

Prestaties naar inhoudelijk en cognitief domein

De toetsopgaven zijn ingedeeld naar drie inhoudelijke domeinen (getallen, geometrische vormen/meten en gegevensweergave) en naar drie cognitieve domeinen (weten, toepassen en redeneren). Nederlandse leerlingen scoren op alle inhouden gemiddeld ver boven het internationale gemiddelde van 500. Jongens doen het significant beter op het domein getallen dan meisjes. Op alle domeinen presteren autochtone leerlingen significant beter dan allochtone leerlingen. Op de cognitieve gebieden weten en redeneren scoren de Nederlandse leerlingen net onder de goed scorende Aziatische landen. Op het gebied toepassen doen Nederlandse leerlingen het relatief minder goed.

Niveaus van leerprestaties ten opzichte van referentiepunten

Op basis van referentiepunten zijn vier verschillende niveaus geformuleerd: geavanceerd, hoog, midden en laag. In Nederland haalt 98% het laagste niveau. Het geavanceerde niveau wordt door 7% van de Nederlandse leerlingen gehaald (in Singapore is dit de helft van de leerlingen).

Resultaten anders dan leerprestaties

Resultaten van leerlingen op vragenlijsten

Uit resultaten van vragenlijsten blijkt dat leerlingen evenals in 2003 een licht positieve houding hebben ten opzichte van rekenen en wiskunde. Deze houding is wel iets minder positief geworden en internationaal gezien nemen Nederlandse leerlingen een erg lage positie in. Allochtone leerlingen hebben significant meer plezier in rekenen en wiskunde, ook al zijn hun prestaties lager. Nederlandse leerlingen hebben vooral veel vertrouwen in hun eigen rekencapaciteiten, jongens significant meer dan meisjes.

Resultaten van leraren op vragenlijsten

Leraren in de groepen 6 voelen zich gemiddeld meer dan voldoende in staat om les te geven in rekenen en wiskunde. Het minst scoren leraren met vijf jaar of minder ervaring en vrouwelijke leraren hierop, vooral op de domeinen getallen en geometrische vormen/meten. Aan het domein getallen wordt in Nederland meer tijd besteed dan in andere landen. Van alle TIMSS-landen ervaren Nederlandse docenten de minste knelpunten in het omgaan met verschillen tussen leerlingen of probleemleerlingen. Relatief voelt men zich het meest belemmerd door de verschillen in leerniveaus van leerlingen.

Het aantal uren dat leerlingen per week aan rekenonderwijs besteden is sinds 1995 nauwelijks veranderd (gemiddeld 4,5 uur). Het onderwijs is meer ‘leerlinggeoriënteerd’ geworden, wat inhoudt dat leerlingen vaker hun eigen werk of elkaars werk nakijken, vaker samenwerken zonder tussenkomst van de leraar en vaker aan vakoverstijgende taken of projecten werken. Ook wordt in 2007 vaker het beperkt gebruik van de rekenmachine toegestaan.

Commissie Meijerink: Over de drempels met rekenen

Om de tegenvallende reken- en taalresultaten aan te pakken, is in 2007 een expertgroep verzocht referentieniveaus te ontwikkelen voor taal en rekenen. Het doel is het verhogen van de kwaliteit en het verbeteren van de overgangen tussen de verschillende onderwijsniveaus. Het resultaat is het rapport over de drempels met rekenen en taal. Er wordt gekeken naar een beheersingsniveau: wat moeten de kinderen aan het eind van de basisschool kennen en kunnen? Er zijn vier subdomeinen: getallen, verhoudingen, meten en meetkunde en verbanden, waarbij onderscheid gemaakt wordt in ‘paraat hebben’, ‘toepassen’ en ‘weten waarom’. Het fundamentele niveau (F1, minimaal niveau voor doorstroom naar VMBO-BBL en kader) wordt door 25% van de leerlingen niet gehaald. Wanneer dit met extra inspanning nog steeds niet lukt, dient een afzonderlijk leertraject geformuleerd te worden voor de leerlingen in kwestie. Het streefniveau (S1, niveau voor doorstroom naar VMBO-T, HAVO en VWO) wordt door 50% van de leerlingen gehaald. Door projecten en subsidies moeten deze referentieniveaus geconcretiseerd en behaald worden, om het rekenonderwijs en de opbrengsten te verhogen.