JoHo

Waar gaat dit boek over?

• Dit boek gaat uitgebreid in op zowel het verkrijgen als het interpreteren van statistische data en is speciaal geschreven voor gebruik door studenten.
• In vergelijking tot andere statistiekboeken is dit boek erg toegankelijk, de focus ligt op uitleg van de basisbegrippen en -functies in de statistiek.

Hoe is dit boek ingedeeld?

• Het eerste deel van het boek behandelt de basis: het verkrijgen en interpreteren van data.
• Vervolgens gaat het boek in op steekproeven en de betrouwbaarheid daarvan.
• Het derde deel van het boek gaat over het maken van gevolgtrekkingen.
• Het vierde deel behandelt hoe je verbanden tussen variabelen kunt meten en geeft een introductie van gevorderde statistiek.

Wat zijn de belangrijkste wijzigingen in de 4e druk ten opzichte van de 3e druk?

• In hoofdstuk 3 is informatie toegevoegd over de manieren van associatie tussen categorische variabelen.
• Paragraaf 3 van hoofdstuk 7, over de binomiale verdeling, is verwijderd in de nieuwe druk.
• In de hoofdstukken 10 en 11 is informatie toegevoegd over permutatie testen.
• In hoofdstuk 10 is informatie toegevoegd over de McNemar test.
• De volgorde van de informatie in hoofdstuk 12 is wat veranderd, de informatie zelf is hetzelfde gebleven.
• De verwoording van veel uitleg is veranderd om de tekst beter begrijpelijk te maken en om studenten te motiveren meer over statistiek te willen leren.
• Er zijn verschillende voorbeelden toegevoegd en aangepast om een beter begrip te krijgen van het gebruik van de statistiek in de praktijk.
• Er is vernieuwde informatie over het gebruik van software als Minitab^® en Excel binnen de statistiek toegevoegd.
• De hoofdstukindeling en behandelde onderwerpen zijn verder hetzelfde gebleven.
• Software wordt continu verder ontwikkeld maar de nadruk ligt in dit boek niet op de precieze uitvoering met software, maar op het verkrijgen van een eerste begrip van statistiek, deze basis van de statistiek is nauwelijks aan verandering onderhevig.
• Omdat de meeste updates in de 4e druk uit toegevoegde voorbeelden of oefenmateriaal bestaan, is de samenvatting zowel bij de 3e als 4e druk prima te gebruiken.

2.1. Soorten data

De data die we verzamelen bij een bepaalde onderzoeksvraag vallen onder bepaalde karakteristieken; deze worden variabelen genoemd. Variabelen zijn dus de onderdelen waar we data van willen verkrijgen. Enkele voorbeelden van variabelen zijn sekse, gewicht en leeftijd.

Variabelen kunnen ook weer verschillen. Zo bestaan er categorische variabelen en kwantitatieve variabelen. Categorische variabelen zijn variabelen waarbij elke observatie binnen een bepaalde categorie valt, denk hierbij bijvoorbeeld aan sekse (je bent man of vrouw), huwelijkse staat, of een vraag waar JA of NEE op geantwoord kan worden. Bij categorische variabelen wordt voornamelijk gekeken naar het relatieve aantal observaties per categorie. Daarnaast bestaan er ook kwantitatieve variabelen. Dit zijn variabelen waarbij elke observatie een bepaalde waarde kan aannemen, zoals gewicht en leeftijd. Bij kwantitatieve variabelen zijn gemiddelde en spreiding van de data de belangrijkste gegevens.

Kwantitatieve variabelen zijn daarnaast ook nog eens onderverdeeld in discrete of continue waarden. Een discrete kwantitatieve variabele bestaat uit vaststaande en eindige getallen, zoals 1, 2, 3, 4, 5 of 10, 100, 1000. Continue kwantitatieve variabelen kunnen elke waarden op een interval aannemen, zoals 1,892 en 100,9870, deze waarden zijn dus oneindig.

Om de gevonden data van variabelen om te zetten in duidelijke gegevens kunnen verschillende soorten methoden gebruikt worden. Voor categorische variabelen wordt ten eerste bepaald welke categorie de hoogste frequentie van observaties heeft, deze categorie wordt de modus (mode) genoemd. Daarnaast kunnen proporties en percentages gebruikt worden om de overige gegevens te benoemen. Proporties zijn het aantal observaties in een bepaalde categorie gedeeld door het totaal aantal observaties. Voor het percentage wordt deze proportie vermenigvuldigd met 100. Zowel proporties als percentages worden relatieve frequenties genoemd. Deze gegevens kunnen in een tabel worden gezet; deze tabel wordt dan een frequentietabel genoemd.

Voor kwantitatieve variabelen worden de waarden van de data eerst omgezet in bepaalde intervallen; er worden een soort van categorieën gemaakt. Van deze intervallen (bijvoorbeeld tussen 0-5 en 5-10) kunnen ook relatieve frequenties worden gemaakt. Daarnaast wordt ook veel naar het gemiddelde en de spreiding gekeken.

2.2. Grafieken

Grafieken zijn meestal makkelijker te begrijpen dan ruwe data of frequentietabellen. Er zijn twee soorten grafieken: één voor categorische variabelen en één voor kwantitatieve variabelen.

Grafieken voor categorische variabelen

Er zijn 2 grafieken die het meest gebruikt worden voor categorische variabelen. De eerste daarvan is de Pie chart, ook wel het taartmodel genoemd. In een cirkel (100%) staat elk stukje voor een categorie. De grootte van het stukje staat gelijk aan het percentage van de observaties in die categorie. De tweede grafiek die vaak voorkomt is het staafdiagram (bar graph). Dit zijn verticale staven waarbij de hoogte van de staaf het percentage van de observaties in de categorie aangeeft. Worden de staven in volgorde van hoog naar laag geordend dan wordt dit de Parerto Chart genoemd. Deze laatste wordt voornamelijk in de zakenwereld gebruikt.

Grafieken voor kwantitatieve variabelen:

De eerste grafiek die vaak gebruikt wordt is de dot-plot. Eén stip (dot) in deze grafiek staat voor één observatie. De waarde van de observatie staat op een horizontale lijn onder de stip vermeld. Deze grafiek wordt voornamelijk voor kleine metingen gebruikt. De tweede grafiek is de stem and leaf plots (stam en bladeren), ook deze wordt gebruikt voor kleine metingen. Bij deze grafiek splits je de data in een stem (alle cijfers behalve de laatste) en in leaves (het laatste cijfer in de observatie). Deze zet je vervolgens in een grafiek, zoals in het plaatje hieronder.

Figuur 1 (zie bijlage)

Hier is de observatie dus 75 in een sample size van 20

Ten derde heb je de timeplots. Soms worden observaties gedurende een langere periode uitgevoerd. Als deze gegevens in een grafiek worden gezet, waarbij de tijd op de x-as staat, dan wordt dit een timeplot genoemd. Vaak wordt bij deze grafieken gezocht naar een trend; oftewel een indicatie van een bepaald verloop van de data over een periode van tijd.

Ten slotte heb je een histogram, deze lijkt heel erg op een bargrafiek van categorische variabelen. Histogrammen worden gebruikt voor grote metingen, hierbij laten ze de frequenties zien van de kwantitatieve variabelen. De echte waarden, het aantal subjecten in dat interval, worden niet aangegeven.

Een grafiek van een kwantitatieve variabele, zoals een histogram, beschrijft de distributie van de data. Hierbij kijken we naar het patroon van de data; oftewel of de data geclusterd of gespreid zijn. Data kunnen eentoppig zijn, waarbij er maar 1 hoogste punt is (de modus); dit noemt men een unimodale distributie. Data kan echter ook tweetoppig zijn; dit wordt dan een bimodale distributie genoemd.

Figuur 2 (zie bijlage)

De vorm van een distributie is vaak symmetrisch of skewed (scheef). Symmetrisch houdt in dat er ongeveer even veel data links als rechts van het midden liggen. Skewed wil zeggen dat de data langer uitgerekt zijn naar één kant. Een voorbeeld hiervan is bijvoorbeeld het aantal uur dat een persoon achter de computer zit. De meeste mensen zullen tussen de 0 en 2 uur zitten, maar er zijn ook enkele gevallen waarbij mensen 5 of 8 uur achter de computer zitten. De data is dus voornamelijk gecentreerd rond de 0-2 uur, maar enkele hoge data zullen de grafiek uitrekken naar 8 uur. De uiteinden van een distributie worden ook wel tails (staarten) genoemd.

In het bovengenoemde voorbeeld is de rechterstaart dus langer dan de linker. Dit wordt “skewed naar rechts” genoemd. Als de linkerstaart langer is dan de rechter dan wordt dit “skewed naar links” genoemd.

Figuur 3 (zie bijlage)

Beschrijving van kwantitatieve data.

Grafieken geven vaak een duidelijk overzicht van de data. Daarna willen we echter statistiek (opsomming door cijfers) gebruiken. Bij de data van kwantitatieve variabelen kijken we voornamelijk naar 2 statistische maten; het centrum en de spreiding.

Het centrum:

Er zijn 3 belangrijke metingen voor het centrum van de data. De allerbelangrijkste is het gemiddelde (mean). Het gemiddelde is de som van alle observaties gedeeld door het aantal observaties. Een tweede belangrijke is de mediaan. Als alle observaties van klein naar groot (of groot naar klein) worden geordend, dan is de mediaan de middelste meting. Bij een even aantal observaties is de mediaan het gemiddelde van de middelste twee observaties. Wanneer er sprake is van een zeer scheve verdeling wordt er vaak gekozen om de mediaan te kiezen in plaats van het gemiddelde omdat dit een beter beeld geeft. Bij een normaal verdeling of een verdeling met een milde afwijking wordt gekozen voor het gemiddelden om inzicht te geven in de verdeling. Ten slotte hebben we de modus; deze geeft het interval met de meeste observaties weer.

Een ander belangrijk punt bij het beschrijven van het centrum van de data is het bekijken van uitschieters (outliers). Een uitschieter is een observatie die ver boven of ver onder de meeste metingen valt. Een uitschieter verandert de uitkomst van het gemiddelde flink. De mediaan verandert echter niet door een uitschieter; de mediaan is resistent tegen uitschieters. De modus hoeft niet dicht bij het centrum van de gegevens te liggen.

Zie het voorbeeld hieronder:

Figuur 4 (zie bijlage)

De vorm van de distributie bepaald hoe het gemiddelde ligt ten opzichte van de mediaan. Is de distributie volledig symmetrisch dan is het gemiddelde gelijk aan de mediaan. Als de distributie skewed naar links is dan is het gemiddelde kleiner dan de mediaan en is de distributie skewed naar rechts dan is het gemiddelde groter dan de mediaan.

De spreiding:

Er zijn twee soorten manieren om de spreiding van een distributie te beschrijven. Ten eerste via het bereik (range). Het bereik is het verschil tussen de grootste observatie en de kleinste observatie. Het bereik wordt sterk beïnvloed door uitschieters. De range maakt echter geen gebruik van alle data. De tweede manier om spreiding te beschrijven doet dat wel; dit is de deviatie. Een deviatie is het verschil tussen een bepaalde observatie (x) en het gemiddelde, dus Formule 1 (zie bijlage). Een deviatie is positief wanneer de observatie (x) groter is dan het gemiddelde en een deviatie is negatief wanneer de observatie (x) kleiner is dan het gemiddelde. De som van alle deviaties is 0: omdat het gemiddelde van elke observatie wordt afgetrokken zullen de negatieve en de positieve deviaties elkaar uitmiddelen tot 0. Het gemiddelde van alle deviaties in het kwadraat wordt variantie genoemd. Als we van deze variantie de wortel nemen dan krijgen we de standaarddeviatie (standaardafwijking). Met deze standaarddeviatie kunnen we de spreiding van de distributie het best beschrijven. Hoe groter de standaarddeviatie is, hoe groter de spreiding van de data.

Formule 2 (zie bijlage)

Blijkt een distributie ongeveer symmetrisch, eentoppig en in de vorm van een bel (bellshape) te zijn, dan noemen we dit een normaalverdeling. Bij een normaalverdeling kunnen we de volgende uitspraken doen over de standaarddeviatie.

1. ±68% van de observaties valt binnen 1 standaarddeviatie van het gemiddelde

2. ±95% van de observaties valt binnen 2 standaarddeviaties van het gemiddelde

3. ±99% van de observaties valt binnen 3 standaarddeviaties van het gemiddelde

Deze waarden zijn dus niet van toepassing bij skewed grafieken.

Er bestaat een verschil tussen de sample statistiek en de daadwerkelijke populatie in de notatie. Als we het hebben over het gemiddelde en de standaarddeviatie van de sample, dan gebruiken we: en s . Echter als we het hebben over het gemiddelde en de standaarddeviatie van de populatie, dan gebruiken we de parameters µ (gemiddelde) en σ (standaarddeviatie). Onthoud wel dat deze populatieparameters meestal onbekend zijn.

Een andere manier om spreiding te beschrijven is met behulp van percentielen. Het Pe percentiel is een waarde waarbij P procent van de observaties onder of op dat percentage valt. Dus bij het 30e percentiel (bijvoorbeeld een waarde van 80) valt 30 procent van de observaties onder die waarde 80 en 70% valt er boven. Een makkelijke manier om percentielen te gebruiken zijn kwartielen. Het eerste kwartiel (Q1) is 25%, het tweede kwartiel (Q2) is 50% (de mediaan dus) en het derde kwartiel (Q3) is 75%. De afstand tussen het eerste en het derde kwartiel wordt het interkwartiele bereik (IQR: interquartile range) genoemd. 1,5 maal de IQR boven Q3 of onder Q1 is een maatstaf om mogelijke uitschieters te vinden.

Al deze gegevens kunnen worden weergegeven in een boxplot. De zogenaamde ‘box’ loopt van het eerste kwartiel tot het derde kwartiel. Vervolgens loopt er een verticale lijn in de box die de mediaan aangeeft. Een horizontale lijn loopt van de laagste observatie tot de hoogste observatie; deze lijn gaat dus ook door de box heen. Uitschieters worden echter aangegeven met een sterretje naast de lijn.

Figuur 5 (zie bijlage)

Z-score

Een Z-score geeft aan hoeveel standaarddeviaties een observatie van het gemiddelde af zit. Je krijgt dus je plek ten opzichte van het gemiddelde, uitgedrukt in een standaard maat. Dit heeft als voordeel dat je direct kunt zien of een score heel verrassend of extreme is.

Zie figuur 6

4.1. Type onderzoek

Om even te herhalen wat al eerder is genoemd: bij statistiek is men vaak geïnteresseerd in bepaalde gegevens van de populatie. Om hier onderzoek naar te doen is het vaak onmogelijk de hele populatie te onderzoeken, daarom wordt er gebruik gemaakt van een deel van de populatie, namelijk een sample. Er zijn vervolgens twee soorten onderzoeken mogelijk, observatieonderzoek of experimenteel onderzoek.

Bij observatieonderzoek observeert de onderzoeker de afhankelijke en onafhankelijke variabele van de sample zonder iets gemanipuleerd te hebben. Een probleem bij observatieonderzoek is de mogelijke invloed van een lurking variabele op de resultaten. Er kunnen bij dit soort onderzoek dan ook geen causale verbanden gelegd worden. Experimentele onderzoeken hebben geen last van deze problemen. Bij dit soort onderzoeken worden de subjecten (mensen, dieren, etc) uit de sample random toegewezen aan bepaalde condities. De eigenschappen van de subjecten zijn dus gelijk verdeeld over de condities; alleen de condities zelf zijn gemanipuleerd en verschillen dus van elkaar. De waarde van de afhankelijke variabele die wordt gemeten wordt dus bepaald door de verschillende condities waarin de subjecten zitten. Dit soort onderzoek verkleint de kans op een lurking variabele en geeft de mogelijkheid om causaliteit vast te stellen.

Waarom wordt dan niet alleen experimenteel onderzoek gebruikt als dit zoveel voordelen geeft? In een aantal gevallen is experimenteel onderzoek niet mogelijk. Ten eerst is experimenteel onderzoek niet altijd ethisch. Denk hierbij aan onderzoek naar de invloed van kindermisbruik op de toekomst van een kind. Ten tweede is het in de praktijk niet altijd zo dat de subjecten doen wat er van ze gevraagd wordt. Onderzoek je dan nog wel het juiste? Ten slotte nemen sommige onderzoeken jaren in beslag, en welke subjecten willen nu 30 jaar wachten/meedoen aan een onderzoek? Voor dit soort problemen wordt vaak observatieonderzoek ingezet.

Er zijn verschillende vormen van observatie. Ten eerste heb je een sample survey; hierbij wordt een sample van mensen geselecteerd en geïnterviewd om data te verzamelen. Een tweede type observatie is een census, dit is een survey waarbij men probeert het aantal mensen in de populatie te tellen en daarbij bepaalde eigenschappen te meten. Hierbij willen ze dus de hele populatie meten. Dit is in de praktijk echter zelden mogelijk. Het is praktischer om een sample te nemen.

Een laatste type observatie, die vrij onbetrouwbaar is, is de anecdotal evidence. Dit zijn persoonlijke informele observaties en vaak niet representatief. Een voorbeeld hiervan is dat jij iemand kent die aan een hartstilstand is overleden en altijd heel veel varkensvlees at. Is dit bewijs dat varkensvlees een hartstilstand kan veroorzaken? Resultaten van goed ontwikkelde studies zijn meer geloofwaardig dan van anecdotal evidence.

4.2. Verkrijgen van samples

Om goede resultaten te verkrijgen uit een onderzoek is het van groot belang dat de sampling van een populatie op een goede manier tot stand is gekomen. Om dit te doen wordt vaak eerst een sampling frame genomen. Dit is een lijst van alle subjecten in de populatie waar later een sample uit wordt genomen. Vervolgens wordt door middel van een random sampling design een aantal subjecten uit het sampling frame geselecteerd. De kans voor elk subject om geselecteerd te worden is door randomisering even groot.

Vervolgens zijn er verschillende methodes om data voor sample surveys te verkrijgen. Ten eerste door middel van persoonlijke face-to-face interviews. Voordeel hiervan is dat mensen eerder meedoen. De hoge kosten vormen echter een nadeel. Een tweede middel is via telefonische interviews. Een voordeel hiervan zijn de lagere kosten, maar heeft als nadeel dat mensen via de telefoon vaak minder tijd hebben en eerder afhaken. Ten slotte wordt meestal via vragenlijsten data verkregen. Een voordeel is dat het goedkoper is en minder persoonlijk dan face-to-face, een nadeel is dat minder mensen meedoen.

Een belangrijk punt bij het verkrijgen van samples is in hoeverre de resultaten van deze samples representatief zijn voor de gehele populatie. Om hier iets meer zekerheid over te geven bestaat er een margin of error. Een voorbeeld van een margin of error is dat als de sample 100 keer wordt uitgevoerd, deze 95 keer de echte waarde bevat. De formule van de margin of error staat hieronder. Deze is niet volledig, maar zal in latere hoofdstukken uitgebreid worden.

Formule 6 (zie bijlage)

Wanneer de resultaten van de sample niet representatief zijn voor de populatie dan spreekt men over een bias. Er zijn verschillen vormen van bias. Ten eerste is er de sampling bias, dit kan of inhouden dat er geen gebruik is gemaakt van random sampling of dat er “undercoverage” is van de sample. Undercoverage van een sample wil zeggen dat een deel van de populatie mist. Een tweede soort bias is de non-respons-bias, dit is als een bepaalde groep mensen vaker niet aan een onderzoek mee wil doen. Een laatste soort bias is de responsbias, dit houdt in dat mensen geen eerlijke antwoorden geven (ze willen bijvoorbeeld goed overkomen), of als de onderzoeker een verkeerde en/of misleidende vraagstelling hanteert.

Missing Data

Erg belangrijk zijn de ontbrekende waarden ofwel Missing data in je data set. Het komt bijna nooit voor in sociaal-wetenschappelijk onderzoek dat alle variabelen gescoord worden. Respondenten slaan wel eens een vraag over, kunnen of willen die niet beantwoorden, of de vraag is niet van toepassing. Je kunt dan geen waarde invoeren bij de betreffende variabele. Sommige antwoorden kunnen niet verwerkt worden en krijgen dan ook een missing value. Belangrijk hierbij is na te gaan wat de betekenis is van missing data. Zijn er veel respondenten die een bepaalde vraag niet invullen, dan kan dat iets zeggen over de vraag.

Hoe een data sample wordt verkregen kan ook leiden tot bias. Twee manieren om een sample te verzamelen zijn soms nodig maar niet ideaal:

Convenience sampling is een niet - aselecte steekproeven techniek waarbij proefpersonen zijn geselecteerd vanwege hun gemakkelijke bereikbaarheid en de nabijheid van de onderzoeker

Een vrijwilliger steekproef is er een waarin de deelnemers zich vrijwillig hebben aangemeld om deel te nemen aan de studie. Een groot probleem met een vrijwilliger steekproef is dat de deelnemers goed kunnen zich vrijwillig hebben aangemeld omdat ze hun eigen agenda / bijbedoelingen die kunnen botsen met de doelstellingen van de onderzoeker.

4.3. Manieren van experimenteel onderzoek doen

Bij experimenteel onderzoek worden de subjecten aan verschillende behandelgroepen (treatmentgroups) toegewezen. Een goed experiment heeft naast de bepaalde behandelgroepen ook een controlegroep. Na afloop van het experiment worden de behandelgroepen met de controlegroep vergeleken op mogelijke verschillende resultaten. Blijkt er een verschil te zijn dan heeft de manipulatie van de behandelgroepen waarschijnlijk gewerkt. Om er zeker van te zijn de er geen psychologische effecten optreden wordt er vaak gebruik gemaakt van een placebo. Een placebo (nepbehandeling) wordt dan aan de controlegroep gegeven zodat ze wel denken dat ze de behandeling ondergaan, maar de echte werking van de behandeling niet aanwezig is. Soms kan namelijk het idee van bijvoorbeeld medicijnen innemen een persoon al beter maken. Zodra nu de controlegroep met placebo wordt vergeleken met de behandelgroep, komt de mogelijke echte werking van de behandeling naar voren en niet het psychologische effect.

Een andere manier van een goed experimenteel onderzoek opzetten is het gebruik maken van geblindeerde onderzoeken. Een enkel geblindeerd onderzoek houdt in dat de deelnemers van het onderzoek niet weten aan welke conditie of behandelgroep ze zijn toegewezen. Is het onderzoek dubbel geblindeerd dan weten zowel de deelnemers als de onderzoekers niet wie in welke conditie zit. Het belang van de “geblindeerde” onderzoeker is dat hij/zij dan niet (on)bewust informatie of support kan verstrekken aan een bepaalde behandelgroep.

Wanneer de verschillen in resultaten tussen de twee behandelingen zo groot is dat het niet aan toeval te wijden valt, kunnen we deze verschillen aan de onafhankelijke variabele toewijzen. De resultaten zijn dan statistisch significant.

4.4. Andere manieren van onderzoek doen

Behalve de twee bekendste type onderzoeken, experimenteel en observatie, zijn er nog vele andere mogelijkheden. Hieronder wordt een aantal voorbeelden gegeven van andersoortig onderzoek.

Matched-pair design is een design waarbij je als deelnemer zowel in behandelgroep A als in behandelgroep B zit. Hierbij kan gedacht worden aan twee soorten diëten. Een deelnemer zal eerst een nepdieet ondergaan en vervolgens het echte dieet. De resultaten van beide behandelingen worden dan met elkaar vergeleken.

Cross-over design. Dit is een design waarbij de deelnemers meerdere keren wisselen gedurende het onderzoek. Dit kan eruit zien als A-B-A-B of B-A-B-A of A-B-A-C.

Er zijn verschillende mogelijkheden van het random toewijzen van subjecten aan samples. De eerste manier is de simple random sampling, deze is al eerder genoemd. Hierbij hebben alle subjecten in de populatie een even grote kans om in de sample terecht te komen. Een tweede manier is door cluster sampling. Hierbij worden eerst clusters gemaakt (bijvoorbeeld alle scholen in Amsterdam), vervolgens wordt één of meerdere clusters gekozen voor in de sample. De leerlingen zijn dus niet random, alleen de scholen. Tenslotte bestaat er ook stratified sampling. Hierbij wordt de populatie in verschillende groepen (strata) verdeeld, waarna uit elke strata een sample wordt gekozen (bijvoorbeeld alle eerste klassen in Amsterdam zijn één strata en alle tweede klassen zijn één strata, etc).

Figuur 10 (zie bijlage)

Er zijn ook observatieonderzoeken die gedurende een bepaalde periode plaatsvinden. Deze onderzoeken wordt cross-sectional genoemd. Daarin kan weer onderscheid worden gemaakt tussen retrospectieve en prospectieve onderzoeken. Retrospectieve onderzoeken kijken terug in de tijd. Voorbeeld: het aantal kankerpatiënten vergelijken met het telefoongebruik van deze mensen. Prospectieve onderzoeken kijken in de toekomst. Tenslotte bestaat er ook nog een case control studie. Bij deze vorm van retrospectief onderzoek worden proefpersonen met een relevante responsuitkomst (zoals het hebben van een bepaalde ziekte) vergeleken met mensen die deze uitkomst niet hebben. De ‘patiënten’ en ‘controles’ worden vergeleken op een onafhankelijke variabele (zoals wel of niet roken).

6.1. Kansen bij continue random variabelen

In de vorige paragraaf hebben we het gehad over enkele kansen. Soms is er echter een onderzoek waarbij de random sample meerdere keren wordt getoetst. Vervolgens wil men dan de kans over meerdere trials berekenen. Deze kansen worden uiteengezet in een kansendistributie (probability distribution).

Opfrisser soorten variabelen

1. Continue variabelen
   Continue variabelen kunnen iedere waarde aannemen in een bepaald interval, zoals temperatuur, leeftijd en gewicht. Continue variabelen hebben dus altijd een getal als waarde.

2. Discrete variabelen
   Discrete variabelen kunnen kwalitatief of kwantitatief zijn. Bij kwalitatieve discrete variabelen is de waarde geen getal, maar een eigenschap zoals haarkleur of de mening over een politieke partij.

3. Discrete variabelen - Binair
   Binaire discrete variabelen, ook wel dichotome variabelen, herken je aan het feit dat ze maar 2 verschillende waarden kunnen hebben. Bijvoorbeeld linker voet of rechter voet, eens of oneens en gelukkig of ongelukkig.

4. Discrete variabelen - Nomimaal
   Nominale discrete variabelen zijn kwalitatieve variabelen waarvan de waarde geen logische volgorde hebben. Denk hierbij aan type rijbewijs of type bekleding van het intererieur van een auto.

5. Discrete variabelen - Ordinaal
   Ordinale discrete variabelen zijn kwalitatieve variabelen waarvan de waarde wel een logische volgorde hebben. Een duidelijk voorbeeld is een vraag met de antwoorden 'tevreden', 'geen mening', 'ontevreden'.

De kansberekeningen van al deze verschillende soorten variabele zijn dus verschillend. Daar wordt verderop in dit hoofdstuk verder op in gegaan.

Als we nog even teruggaan naar hoofdstuk 2 van deze samenvatting dan stond daar de uitleg over parameters: als men het heeft over het gemiddelde en de standaarddeviatie van de sample, dan worden de parameters m en s gebruikt . Echter, als men het heeft over het gemiddelde en de standaarddeviatie van de populatie dan worden de parameters µ (gemiddelde) en σ (standaarddeviatie) gebruikt. Onthoud wel dat deze populatieparameters meestal onbekend zijn. Als er met een normaalverdeling wordt gewerkt, dan worden vaak de parameters µ en σ gegeven. Deze parameters worden vervolgens vergeleken met de parameters van het sample dat is onderzocht.

6.2. Kansen voor een Bell-Shaped kans verdeling

Voorbeeld: het testen van de snelheid van auto’s op de snelweg waar 100 km per uur gereden mag worden. Gemiddeld zullen mensen 100 km per uur rijden. Er zijn daarentegen ook een aantal mensen die harder rijden dan 100 en mensen die minder hard rijden. De gegevens uit dit voorbeeld kunnen weergegeven worden op een continue schaal, waarbij de laagste snelheid links staat en de hoogste snelheid rechts. De meeste mensen zullen rond het midden van de schaal zitten, de uitschieters zullen aan de zijkant van de distributie zitten. Dit is een typisch voorbeeld van een normaalverdeling. De normale verdeling is een continue kansverdeling. Kansverdelingen waarbij een continue variabele een rol speelt komen veel voor. Als je bijvoorbeeld kijkt naar het gewicht van een pak koffie van een bepaald merk, of naar de gemiddelde opbrengst van een hectare grond of naar de lengte van een groot aantal personen dan heb je steeds te maken met een continue kansverdeling.

Bij een normaalverdeling is de distributie symmetrisch, bell-shaped en heeft altijd 2 parameters, namelijk het gemiddelde en de standaarddeviatie.

Om te bepalen waar een bepaalde observatie van een continue random variabele ligt in de normaalverdeling wordt vaak de Z-score berekend. De Z-score is het aantal standaarddeviaties dat deze observatie van het gemiddelde vandaan ligt. Ter herhaling staan hieronder de percentages van de observaties die binnen een bepaalde standaarddeviatie vallen.

1. ±68% van de observaties valt binnen 1 standaarddeviatie van het gemiddelde

2. ±95% van de observaties valt binnen 2 standaarddeviaties van het gemiddelde

3. ±99% van de observaties valt binnen 3 standaarddeviaties van het gemiddelde

Om de Z-score te bepalen van een bepaalde observatie, haal je van deze geobserveerde waarde het gemiddelde af en deel je dat getal door de standaarddeviatie. Is deze score negatief dan valt de observatie onder het gemiddelde, is de Z-score positief dan valt de observatie boven het gemiddelde.

Formule 10 (zie bijlage)

Een cumulatieve kans is de kans op het optreden van een uitkomst gelijk aan of kleiner dan een waarde x.

Bij gegeven μ en σ ligt de curve van de normale verdeling vast. De kansen kunnen dan als oppervlaktes onder de grafiek berekend worden. Het is niet makkelijk om deze integralen zomaar voor willekeurige kansen te berekenen. Daarom heeft men een andere methode ontwikkeld: via tabellen kan men de kansen voor uitkomsten gemakkelijk opzoeken / aflezen. Voor de normale verdeling heeft men een tabel geconstrueerd met - μ = 0 en σ = 1 -. Dit noemt men ook wel de standaardnormale verdeling.

6.3. Kansen bij discrete random variabelen

Bij discrete random variabelen gaat het om de kans tussen twee mogelijke uitkomsten. De verdeling die hieruit voortkomt wordt de binomiale verdeling genoemd. In een sample wordt eerst de kans op een van de twee mogelijke uitkomsten berekend. De uitkomst waarin men geïnteresseerd is wordt “succes” genoemd, de andere uitkomst is “geen succes”. Vervolgens wordt deze sample trial meerdere keren uitgevoerd, waarna van alle gegevens een verdeling kan worden gemaakt. Er zijn echter een paar voorwaarden. Ten eerste moet elke trial dezelfde kans op “succes” hebben; deze kans wordt genoteerd als P. De kans op “geen succes” wordt genoteerd als 1 – P. Daarnaast moeten de trials ook onafhankelijk van elkaar zijn. Dat wil zeggen dat de ene trial geen invloed heeft op de andere trial. Het aantal succes bij n trials wordt genoteerd als X.

Een faculteit wordt genoteerd als “a!”. De “a” is in dit geval een getal en “!” wordt uitgesproken als faculteit. Dit betekent dat a! betekent dat je a*(a-1)*(a-2)*(a-3)*…*1. In een voorbeeld: 4!=4*3*2*1. Daarnaast geldt dat 1! en 0! altijd 1 is. Ook geldt dat een faculteit vóór andere berekeningen komt (delen, optellen en aftrekken etc.)

Voorbeeld: het aantal 6 bij het 3 maal gooien met een dobbelsteen.

Elke trial is een gooi met de dobbelsteen. Er zijn twee mogelijke uitkomsten. Succes is het gooien van een {6}, “geen succes” is het gooien van een {1,2,3,4,5}. De kans op succes is gelijk aan P = Deze kans is voor elke gooi gelijk. De 3 trials zijn ook onafhankelijk; het gooien van de dobbelsteen hangt niet af van de vorige gooi. n = 3 (het aantal maal gooien); X = het aantal 6 dat gegooid wordt; dit kan {0,1,2,3} als uitkomst hebben.

Om de kans van een binomiale random variabele te berekenen is er de volgende formule:

Formule 11 (zie bijlage)

De gegevens van het bovenstaande voorbeeld zullen worden gebruikt om de formule uit te leggen. Stel dat we de kans willen weten van het twee maal gooien van een 6 bij drie trials.

• We berekenen dan de P(2) = de kans op twee successen, dus twee maal het gooien van een 6.

• Formule 12 (zie bijlage) = de kans op succes tot de macht van het aantal keren dat dit succes gegooid moet worden.

• Formule 13 (zie bijlage) = de kans op geen succes (1 – de kans op succes) tot de macht van het aantal keren dat “niet succes” (totaal aantal keer gooien – aantal worpen succes) gegooid wordt.

• Formule 14 (zie bijlage) = Dit deel van de formule geeft weer hoeveel mogelijkheden er zijn. Het gooien van tweemaal een 6 kan op verschillende manieren, bijvoorbeeld: {662} of {366} of {626}. Deze formule maakt gebruik van het nCr knopje op de rekenmachine. De n staat voor het totaal aantal worpen en de x staat voor het aantal worpen succes. Deze formule wordt uitgesproken als 3 boven 2. Dit wordt als volgt in de rekenmachine ingevuld: 3 nCr 2. Hier komt het getal 3 uit. Er zijn dus drie verschillende mogelijkheden om tweemaal een 6 te gooien bij drie worpen.

Simpel gezegd zegt de formule: de kans op succes maal de kans op geen succes maal het aantal mogelijkheden.

Formule 15 (zie bijlage)

Ook bij binomiale distributies kan een gemiddelde en een standaarddeviatie worden bepaald. Dit gaat met de volgende formules:

Formule 16 (zie bijlage)

Bijna alle kansen van de binomiale distributie vallen tussen de µ - 3 σ en µ + 3 σ. De binomiale distributie heeft bij benadering een normaalverdeling. Dit geldt alleen wanneer n groot genoeg is. n is groot genoeg wanneer zowel de uitkomst van n∙p als n(1 - p) beide minstens 15 zijn.

Met behulp van statistiek wil men graag bepaalde conclusies trekken. Deze statistische gevolgtrekkingen maken gebruik van sampling distributies die via data van gerandomiseerde experimenten verkregen zijn. Deze distributies zijn bij benadering normaal verdeeld. Echter om meer zekerheid te verkrijgen over de conclusies die gemaakt moeten worden, wil men iets zeggen over de betrouwbaarheid van de sample. Hoe betrouwbaar zijn de samplegegevens tegenover de echte (onbekende) populatiegegevens? Hiervoor zijn verschillende methodes:

8.1. Populatieparameters schatten kan op twee manieren.

1. Puntschatting: bij een puntschatter wordt door middel van één getal een zo goed mogelijke gok gedaan. Dit is een gecentreerde parameter zoals het gemiddelde of de mediaan. Daarnaast is een kleine standaarderror ook gewenst.

2. Intervalschatting: een betrouwbaarheidsinterval is een range waarbinnen de meeste echte waarden vallen. Er kan een interval van de sampling distributie gemaakt worden met behulp waarvan we bijvoorbeeld kunnen zeggen dat 95% van de echte waarden binnen deze range valt. Om een dergelijke range te maken gebruiken we het gemiddelde en de standaarderror. Eerder hebben we al gezegd dat 95% van de observaties binnen 2 standaarddeviaties van het gemiddelde valt. Om precies te zijn valt 95% van de observaties 1.96 standaarddeviatie boven en onder het gemiddelde of proportie. De margin of error (de range) heeft dan ook als formule:

Formule 20 (zie bijlage)

8.2. Betrouwbaarheidsinterval voor categorische data: populatieproportie

Bij het construeren van een betrouwbaarheidsinterval van categorische data is men geïnteresseerd in de populatieproportie. De gegevens zijn meestal binair (bestaand uit 2 categorische variabelen) en er wordt gekeken of de gegevens wel of niet in de te onderzoeken categorie valt. Hierbij wordt onderscheid gemaakt tussen succes en geen succes. Vervolgens worden de data van de sample proportie van successen opgeteld en wordt er een betrouwbaarheidsinterval van de populatieproportie geconstrueerd. De populatie proportie wordt genoteerd als p en de sample proportie wordt genoteerd als . Het dakje op de p staat voor het feit dat het om een geschatte waarde gaat. Meestal gaat men uit van een betrouwbaarheidsniveau van 95%. Dus op de lange termijn vallen 95% van de populatieproporties binnen dit interval.

Formule 21 (zie bijlage)

Om deze formule te laten gelden is er een voorwaarde en dat is dat zowel het aantal successen en het aantal niet successen Formule 22 (zie bijlage)

Daarnaast gebruikt men voor heel belangrijke beslissingen (leven of dood) een hoger betrouwbaarheidsinterval van 99%. De formule verandert dan in Formule 23 (zie bijlage).

De margin of error is de kans dat de methode resulteert in een verkeerde uitkomst. Deze kans is 1- 0,95 (betrouwbaarheidsniveau van 95%) = 0,05. De margin of error voor een betrouwbaarheidsinterval wordt groter wanneer het betrouwbaarheidsinterval groter wordt en wordt kleiner wanneer de sample grootte groter wordt.

8.3. Betrouwbaarheidsinterval bij kwantitatieve variabelen.

Bij het construeren van een betrouwbaarheidsinterval voor kwantitatieve data is men geïnteresseerd in het populatiegemiddelde. De formule voor een populatiegemiddelde lijkt erg op die van populatieproportie. Ook hier gaat men uit van een geschatte waarde ± de margin of error. De geschatte waarde wordt genoteerd als Aanduiding 5 (zie bijlage). De margin of error wordt echter anders berekend. Bij populatieproportie gebruiken we de z-waarde met de standaarderror. Bij populatiegemiddelde gebruiken we niet de z-distributie maar een andere vergelijkbare distributie. Deze distributie wordt de t-distributie genoemd en is ook bell-shaped, maar heeft een dikker uiteinde dan de normale z-distributie. De waarde van een t-distributie hangt af van de degrees of freedom (df), op dit moment wordt er niet verder ingegaan wat dit betekent. Deze worden vaak gegeven en vervolgens kan er in een tabel de bijbehorende kans worden opgezocht. De kans die bij t.025 gegeven wordt, wordt gebruikt voor een 95% betrouwbaarheidsinterval. De standaarderror bij populatiegemiddelde wordt berekend door de standaarddeviatie te delen door wortel n.

Formule 24 (zie bijlage)

Vele vaak gebruikte statistische methoden geven onbetrouwbare resultaten in de aanwezigheid van uitschieters. Robuuste statistische methoden blijven goed werken wanneer er atypische observaties aanwezig zijn of wanneer er niet perfect aan andere modelvoorwaarden voldaan is.

8.4. Bepalen van de grootte van de sample size

Hoe bepaalt men nu hoe groot de sample size van een onderzoek moet zijn? Dit hangt af van hoe precies het betrouwbaarheidsinterval moet zijn. En hoe klein of groot dus de margin of error moet zijn. Hoe kleiner de margin of error is, des te groter de sample size moet zijn.

Stel dat we een margin of error willen van maximaal 0,05. Om te berekenen hoe groot n moet zijn, zijn er twee formules. Één voor de populatieproportie en één voor het populatiegemiddelde.

Formule 25 (zie bijlage)

Wanneer Aanduiding 6 (zie bijlage) onbekend is wordt 0,50 gebruikt als geschatte waarde, omdat dit de grootste n geeft en dus het veiligste is. De z hangt af van de grootte van betrouwbaarheid, dus z =1,96 bij 95%. M staat voor de margin of error die gewenst is.

Formule 26 (zie bijlage)

De s in de formule wordt geschat. Meestal wordt de sample standaarddeviatie gebruikt.

Er wordt in deze samenvatting niet verder ingegaan op het tot stand komen van deze formules. Het belangrijkste is dat er mee gerekend kan worden.

Computers gebruiken voor nieuwe inschattingen

Er bestaan ook verscheidene heel krachtige computer-intensieve niet-parametrische methoden om de betrouwbaarheidsintervallen op bepaalde statistieken en de p-waarden van bepaalde tests te berekenen

• resampling methoden:

• bootstrap methode:
- niet-parametrische bootstrap methode: originele meetwaarden resamplen met teruglegging, zodat je bepaalde meetwaarden 2 keer zal samplen en andere niet; je kan de betrouwbaardheid van je statistiek dan bepalen door hem te berekenen op elk van de geresampelde datasets

- parametrische bootstrap methode: soms is de statistiek waarin je geinteresseerd bent gebaseerd op gekende distributies, bv. de ratio van twee binomiaalproporties, en de waarschijnlijkheidsdistributie hiervan kan berekend worden om de betrouwbaarheid op de schatting te bepalen

In veel onderzoeken worden twee groepen, bijvoorbeeld mannen en vrouwen, met elkaar vergeleken om te zien of er verschil is tussen beiden. Er zijn twee soorten manier voor het vergelijken van groepen. Meestal wordt er gebruikt gemaakt van independent samples; de ene sample heeft dan geen invloed op de andere sample. De andere manier is door middel van dependent samples; dit is wanneer elk subject van de ene sample gekoppeld is aan een subject van de andere sample (matched pairs). We zullen als eerst de independent samples analyseren. Hierbinnen kan weer onderscheid gemaakt worden tussen categorische en kwantitatieve variabelen.

Independent samples: Categorische variabelen.

Om te analyseren of 2 groepen gelijke proporties hebben kunnen we deze op drie manieren met elkaar vergelijken. De eerste manier is via het betrouwbaarheidsinterval. Om het betrouwbaarheidsinterval te berekenen worden de proporties van de twee groepen van elkaar afgetrokken. Het maakt hierbij niet uit welke groep van welke wordt afgetrokken, dit is arbitrair. Vervolgens werkt het als het normale betrouwbaarheidsinterval:

Formule 29 (zie bijlage - let op, staat is de bijlage onder hoofdstuk 9 geplaatst (en niet hoofdstuk 10))

Het betrouwbaarheidsinterval wordt als volgt geïnterpreteerd. Eerst wordt er gekeken of het getal 0 in het betrouwbaarheidsinterval valt. Als dit het geval is, is het waarschijnlijk dat de twee populatieproporties aan elkaar gelijk zijn. Er is dus geen verschil tussen de ene groep en de andere groep. Zit het getal 0 niet in het interval en zijn alle waarden voor (P1 – P2) positief, dan is P1 > P2. Zijn alle waarden negatief dan is P1 < P2. De grootte van de waarde in het betrouwbaarheidsinterval staat voor de grootte van het werkelijke verschil. Vallen de waarden vlak bij 0, dan is het werkelijke verschil waarschijnlijk klein.

Een tweede manier om de proporties van twee groepen met elkaar te vergelijken is door middel van een significantietest.

1. Assumpties: Categorische afhankelijke variabelen voor 2 groepen. Independent random sample. n1 en n2 zijn groot genoeg, zodat er minstens 5 successen en 5 niet successen in elke groep zitten.

2. Hypothese:

H0 : p1 = p2, (p1 – p2= 0)

Ha: p1 ≠ p2 of Ha: p1< p2 of Ha: p1> p2

3. Statistische test: Formule 30 (zie bijlage)

4. P-waarde: Opzoeken welke p-waarde er bij de gevonden z-waarde hoort.

5. Conclusie: Bepaal aan de hand van het significantieniveau of de gevonden P-waarde kleiner of groter is. Is de P-waarde kleiner dan het significantieniveau dan verwerpen we de H0, is de P-waarde groter dan verwerpen we H0 niet.

Een derde, maar minder vaak gebruikte manier om te onderzoeken of twee groepsproporties aan elkaar gelijk zijn is door de ratio van proporties te berekenen = Formule 31 (zie bijlage). Wanneer de proporties aan elkaar gelijk zijn ligt de ratio rond de 1. Wanneer deze waarde ruim boven of onder de 1 ligt dan verschillen de proporties van elkaar.

Independent samples: Kwantitatieve variabelen

Wanneer we van twee groepen het gemiddelde willen vergelijken, dan kan dit op dezelfde drie manieren. Het betrouwbaarheidsinterval wordt hetzelfde geïnterpreteerd als bij proportie, de formule ziet er alleen iets anders uit.

Formule 32 (zie bijlage)

Een tweede manier om het gemiddelde van twee groepen met elkaar te vergelijken is door middel van een significantietest.

1. Assumpties: kwantitatieve afhankelijke variabelen voor 2 groepen. Independent random sample. Bij benadering normaal verdeeld

2. Hypothese:

H0 : µ1 = µ2

Ha: µ1 ≠ µ2 of Ha: µ1< µ2 of Ha: µ1> µ2

3. Statistische test: Formule 33 (zie bijlage)

4. P-waarde: opzoeken welke p-waarde er bij de gevonden t-waarde hoort. De df wordt door software gegeven.

5. Conclusie: Bepaal aan de hand van het significantieniveau of de gevonden P-waarde kleiner of groter is. Is de P-waarde kleiner dan het significantieniveau dan verwerpen we de H0, is de P-waarde groter dan verwerpen we H0 niet.

De derde manier is de ratio van gemiddelde = Formule 34 (zie bijlage). De interpretatie van deze ratio is hetzelfde als bij de proportie.

Andere manieren om gemiddelde te vergelijken

Soms beschikt men over twee steekproeven uit dezelfde populatie met onbekende populatievariantie, σ2. De steekproefvarianties kan men dan samenvoegen tot een nieuwe, gepoolde schatting, die gebaseerd is op meer waarnemingen en dus nauwkeuriger is. De gepoolde variantie is het gewogen gemiddelde van twee of meer steekproefvarianties, waarbij de aantallen vrijheidsgraden wegingsfactor zijn. De gepoolde variantie is een zuivere schatter van de populatievariantie, bepaald met de som van de aantallen vrijheidsgraden van de gepoolde steekproef.

Dependent samples: Categorische variabelen

Wanneer proporties van dependent (afhankelijke) samples vergeleken worden, dan gebeurt dit op dezelfde manier als voor een enkele sample. De twee gekoppelde paren worden namelijk van elkaar afgetrokken, zodat er een verschilscore (p1 – p2) ontstaat. Deze score wordt net zo gebruikt als in hoofdstuk 8 bij de enkele samples van betrouwbaarheidsintervallen en statistische testen.

Dependent samples: Kwantitatieve variabelen

Voor kwantitatieve variabelen werkt het bijna hetzelfde. De twee gekoppelde gemiddelden worden van elkaar afgetrokken, zodat er een verschilscore (Aanduiding 7, zie bijlage) ontstaat. Deze score wordt net zo gebruikt als in hoofdstuk 8 bij de enkele samples van betrouwbaarheidsintervallen en statistische testen.

De invloed van andere variabele

Een controlevariabele is een variabele die je meeneemt in je onderzoek maar waar niet speciaal je aandacht naar uitgaat. Je neemt de variabele wel mee, en houdt deze variabele constant, omdat deze invloed heeft op de afhankelijke variabele en omdat deze variabele ook samenhangt met de onafhankelijke variabele. De controlevariabelen weglaten uit het onderzoek zou betekenen dat de resultaten van je onderzoek minder accuraat zijn. Dit is vooral aan de orde wanneer je een statistische analyse (multivariate analyse) gaat doen en je een bepaalde oorzaak-gevolgrelatie statistisch wilt bewijzen.

Om voor kwantitatieve variabelen de associatie te bepalen wordt de regressieanalyse gebruikt. Hiermee kan de waarde van de afhankelijke variabele voorspeld worden. Om de sterkte van de associatie te bepalen wordt de correlatie gebruikt. Beide onderwerpen zijn al eerder genoemd in hoofdstuk 3. Belangrijk bij een regressieanalyse is dat er eerst bepaald wordt welke variabele de afhankelijke (respons) variabele is en welke de onafhankelijke variabele (explanatory). De afhankelijke variabele wordt altijd op de y-as gezet en de onafhankelijke variabele op de x-as. Hier wordt vervolgens een scatterplot van gemaakt om te bepalen of er een lineair verband is tussen deze twee kwantitatieve variabelen. Ook is het handig om te bekijken of er uitschieters (outliers) zijn.

Eerder zijn alle formules van regressieanalyse al uitgelegd. Hier wordt nog even een kort overzicht gegeven van de formules die van toepassing zijn.

Formule 37 (zie bijlage)

Het verschil tussen de geobserveerde uitkomst y en de voorspelde waarde is de voorspellingsfout, ook wel residu genoemd. Elke observatie heeft een residu; sommige positief, andere negatief. Gemiddeld komen ze op een waarde van 0. In een scatterplot is een residu de verticale afstand tussen de geobserveerde data en de voorspellende regressielijn. Hoe kleiner deze afstand, hoe beter de voorspelling. We kunnen optellen hoe dicht alle punten bij de regressielijn liggen met de volgende formule voor de sum of squared residuals:

Formule 38 (zie bijlage)

De regressielijn heeft de kleine sum of squared residuals, daarom wordt het ook wel de least squares genoemd.

De sterke van een associatie

Correlatie:

De sterkte van een associatie wordt niet bepaald door de helling (b) van de regressievergelijking, maar door de correlatie (r). De correlatie beschrijft de lineaire associatie tussen twee variabelen, waarbij de r tussen de -1 en +1 valt. In tegenstelling tot de regressielijn, maakt het bij de correlatie niet uit welke variabele de onafhankelijke is en welke de afhankelijke. De correlatie van x die y voorspelt is namelijk hetzelfde als de correlatie van y die x voorspelt. De reden waarom de helling (b) hier niet voor geschikt is, is dat de helling verschillende waarden kan aannemen (kilo’s, pond, gram). De correlatie valt altijd tussen de -1 en +1. Het enige punt waarop zowel de helling als de correlatie dezelfde waarde aannemen is wanneer de spreiding (standaarddeviatie) voor elke variabele gelijk is, dan geldt namelijk Sy = Sx.

Formule 39 (zie bijlage)

Als een x-waarde een bepaald aantal standaarddeviaties van het gemiddelde af ligt dan ligt de voorspelde Aanduiding 8 (zie bijlage), r maal het aantal standaarddeviaties van het gemiddelde vandaan.

Proportionele reductiefout r2

Een andere voorspellende kracht is r2. De variabele is sterker geassocieerd als je y kan voorspellen door het gebruik van een extra variabele X, dan wanneer je alleen het gemiddelde van y gebruikt en X negeert. Voorbeeld: wanneer we het IQ van mensen willen voorspellen, dan kunnen we het gemiddelde gebruiken (IQ = 100). Echter, als we een extra variabele X toevoegen (opleiding), dan kunnen we mogelijk het IQ van mensen beter voorspellen dan door alleen het gemiddelde te gebruiken.

De waarde van r2 kan alleen tussen 0 en 1 vallen. Hoe dichter de waarde bij 1 ligt, hoe sterker de associatie is. Aanduiding 8 (zie bijlage) is beter als voorspeller dan Aanduiding 9 (zie bijlage) Wanneer de waarde 0 is dan is het gebruik van de extra variabele niet beter geweest. Aanduiding 8 (zie bijlage) is geen betere voorspeller dan Aanduiding 9 (zie bijlage).

Wanneer de correlatie van twee variabelen .82 is, dan is de r2 0.67. Dit betekent dat de voorspellingsfout door het gebruik van Aanduiding 8 (zie bijlage) om y te voorspellen 67% kleiner is dan de voorspellingsfout door het gebruik van Aanduiding 9 (zie bijlage) om y te voorspellen.

Voorspellingen doen over associaties:

Wanneer we een regressielijn voor het populatiegemiddelde van y voor verschillende X-waarden willen weten dan gebruiken we de volgende formule:

Formule 40 (zie bijlage)

In werkelijkheid zijn deze waardes onbekend. Daar komt bij dat het onwaarschijnlijk is dat de echte relatie tussen y en x een volledig lineaire lijn is. Dit is niet heel erg voor onze voorspelling, zolang een rechte lijn een redelijke voorspelling kan geven. Om nu te bekijken of de twee kwantitatieve variabelen statistisch onafhankelijk zijn of juist een associatie hebben, kunnen we een statistische test uitvoeren. Als y niet af blijkt te hangen van de waarde van X, dan zijn de twee variabelen onafhankelijk. Het helpt ons dan niet om X te weten. Hieronder volgt een hypothesetoets voor de populatiehelling β.

1. Assumptie: populatie heeft als regressielijn: µy = α + βx; de data is random verkregen; eenzelfde standaarddeviatie bij elke X-waarde.

2. Hypothese:

H0 = β = 0 (onafhankelijkheid)

Ha = β ≠0 (afhankelijkheid)

3. Statistische test:

Formule 41 (zie bijlage)

4. P –waarde: tweezijdig toetsen en opzoeken welke p-waarde er bij de gevonden t-waarde hoort. De df is (n-2).

5. Conclusie: Bepaal aan de hand van het significantieniveau of de gevonden P-waarde kleiner of groter is dan het significantieniveau. Is de P-waarde kleiner dan verwerpen we de H0, is de P-waarde groter dan verwerpen we H0 niet.

Een kleine P-waarde geeft aan dat de nulhypothese (de helling is 0) verworpen kan worden. Om erachter te komen hoe ver de helling van 0 af ligt, construeren we een betrouwbaarheidsinterval. De 0 mag dus niet in het interval liggen als de nulhypothese is verworpen.

Formule 42 (zie bijlage)

Hoe data varieert rond een regressielijn

Bij de best passende regressielijn zijn de afwijkingen (deviaties) y - Y geminimaliseerd: er zijn negatieve en positieve verschillen, hun gemiddelde waarde is 0. Na deze berekening kunnen we de bel in twee stukken opdelen: een deel van de totale variantie wordt verklaard door het berekende verband tussen de afhankelijke variabele (de IVC in ons voorbeeld) en de verklarende variabele (de lengte), wat er over blijft is onverklaarde variantie. De onverklaarde variantie (residuele variantie, dat wat er aan variantie over blijft) is als een donkere bel geprojecteerd in de oorspronkelijke verdeling. De sterkte van het gevonden verband wordt weergegeven door de correlatiecoëfficiënt. Hoe de berekeningen in hun werk gaan laten we buiten beschouwing, het is soms nuttig te weten dat de correlatiecoëfficiënt (aangegeven met r) de vierkantswortel is uit de verklaarde variantie.

Exponentiële regressie

Een exponentiële regressielijn is een gebogen lijn die bij uitstek geschikt is voor gegevenswaarden die steeds sneller stijgen of dalen. U kunt geen exponentiële trendlijn maken als de gegevens nulwaarden of negatieve waarden bevatten.

De methode die in dit hoofdstuk wordt besproken is de ANOVA. Een ANOVA is een test van onafhankelijkheid tussen kwantitatieve afhankelijke variabelen en een groepsfactor. De ANOVA vergelijkt de gemiddelden van de verschillende groepen (g) met elkaar om te bekijken of deze onafhankelijk zijn van de afhankelijke variabele. Voorbeeld: de kwantitatieve afhankelijke variabele is in dit geval inkomen, en inkomen hangt af van de groepsfactor opleiding. Deze groepsfactor bestaat uit drie groepen: Mbo, Hbo en Universiteit.

14.1. De statistische test voor ANOVA:

1. Assumptie: onafhankelijke random samples; normale populatiedistributie met gelijke standaarddeviaties.

2. Hypothese:

H0 = µ1 = µ2 = ….. = µg

Ha = minstens twee van de populatiegemiddelden zijn ongelijk

3. Statistische test: Formule 47 (zie bijlage)

Op dit moment is het nog niet van belang om de between en within groepsvariantie te kunnen berekenen. Wel is het van belang dat er mee gerekend kan worden en afgelezen kan worden in een tabel. De between groups wordt meestal genoteerd als de mean square of groups. De within groups wordt meestal genoteerd als de mean square of error.

4. P-waarde: rechter staartkans boven de geobserveerde F- waarde, deze vervolgens opzoeken in F-distributie. Df1= het aantal groepen -1 (g-1). Df2 = totale sample grootte – het aantal groepen (n-g).

5. Conclusie: Bepaal aan de hand van het significantieniveau of de gevonden P-waarde kleiner of groter is. Is de P-waarde kleiner dan het significantieniveau dan verwerpen we deH0, is de P-waarde groter dan verwerpen weH0 niet. Interpreteer aan de hand van de context.

Waarom het doen van een ANOVA als er ook meerdere T-testen gebruikt kunnen worden om de gemiddelden met elkaar te vergelijken? Hier zijn een aantal redenen voor.

1. Een ANOVA heeft een betere standaarderror.

2. Het houdt de controle over een type 1 fout klein. Dit is de belangrijkste reden!

3. Het enige nadeel van het gebruik van een ANOVA is dat niet duidelijk is welke gemiddelden van elkaar verschillen en hoe erg ze verschillen. Er zijn verschillende mogelijkheden om dit wel te berekenen, zoals via een betrouwbaarheidsinterval.

Een betrouwbaarheidsinterval geeft informatie over de waarde die de gemiddelden aan kunnen nemen. We komen nog even terug op ons voorbeeld van inkomen en de groepsfactor opleiding. De groepsfactor bestond uit 3 groepen: X1 : MBO, X2 = HBO, X­3 = Universiteit. Om te kijken welke gemiddelden van de groepen verschillen stellen we een betrouwbaarheidsinterval op. Om te kijken of het verschil zit in de gemiddelden van MBO (Aanduiding 10, zie bijlage) en HBO (Aanduiding 11, zie bijlage) is het volgende betrouwbaarheidsinterval van toepassing:

Formule 48 (zie bijlage)

Wanneer het betrouwbaarheidsinterval geen 0 bevat, dan kunnen we ervan uitgaan dat er de populatie gemiddelde van elkaar verschillen.

Elke keer een betrouwbaarheidsinterval opstellen van twee groepen heeft twee nadelen. Ten eerste; wanneer er maar drie groepen zijn om met elkaar te vergelijken dan hoeven we maar drie betrouwbaarheidsintervallen op te stellen (groep1-groep2 ; groep 2-groep3 ; groep 1-groep 3). Zodra er meer groepen zijn worden dit er veel meer. Bij 15 groepen hebben we bijvoorbeeld al 105 vergelijkingen. Dit neemt teveel tijd in beslag. Het tweede nadeel is dat de type 1 fout groter wordt. Bij drie toetsen hebben we een de kans op een fout van 0.05 bij elke vergelijking die we doen, dus 0.05+0.05+0.05 = 0.15. Dit houdt in dat 0.15 van de betrouwbaarheidsintervallen niet de werkelijke verschillen tussen de gemiddelden bevatten.

Methodes om alle mogelijke vergelijkingen van gemiddelden te maken zijn multipele vergelijkingen. Een voorbeeld is de Tukey methode. Deze methode is zo geconstrueerd dat de gehele betrouwbaarheid dichtbij 0.95 ligt. Het gaat namelijk uit van de slechtste uitkomst. Je hoeft de Tukey niet uit te kunnen rekenen.

Hierboven is het vergelijken van de gemiddelden van een enkele groepsfactor (opleiding) op een kwantitatieve afhankelijke variabele (inkomen) besproken. Dit werd berekend met een ANOVA, of beter gezegd een one-way ANOVA. Nu wordt er verder ingegaan op het vergelijken van groepen van twee of meer factoren (sekse en opleiding) op een kwantitatieve afhankelijke variabele (inkomen). Dit wordt een two-way ANOVA genoemd.

Bij een two-way ANOVA zijn de nulhypotheses dat de populatiegemiddelden hetzelfde zijn voor elke categorie van een factor, bij een vastgesteld niveau van de andere factor. In het geval van het voorbeeld zijn de nulhypotheses dat sekse geen effect heeft op inkomen en dat opleiding geen effect heeft op inkomen. Blijkt er wel een effect te zijn dan wordt dit een hoofdeffect genoemd. Beide factoren kunnen een hoofdeffect hebben, maar het kan ook zijn dat maar één van de factoren een hoofdeffect heeft. Een derde nulhypothese is dat de twee factoren geen interactie vertonen. Het is belangrijk te onthouden dat een nulhypothese altijd inhoudt dat er geen effect/invloed is.

De statistische test voor een two-way ANOVA is hetzelfde als die voor een one-way ANOVA. De conclusies zijn echter anders. Eerst wordt bepaald of er een hoofdeffect is voor één of beide factoren. Er is sprake van een hoofdeffect wanneer de nulhypothese van de betreffende factor wordt verworpen.

Vervolgens wordt er gekeken of er een interactie is tussen de twee factoren. Deze test ziet er wel iets anders uit. Maar eerst kunnen we in een grafiek bekijken of er mogelijk een interactie is. Wanneer de lijnen kruisen is er interactie, lopen ze parallel dan is er duidelijk geen interactie.

Figuur 17 (zie bijlage)

Een statistische test geeft echter uitsluitsel over de vraag of er interactie is.

1. Assumptie: random sample; de populatiedistributie voor elke groep is normaal; de populatiestandaarddeviaties zijn hetzelfde voor elke groep.

2. Hypothese:

H0 = µ1a - µ1b = µ2a -µ2b = geen interactie

Ha = µ1a - µ1b ≠ µ2a -µ2b =

3. Statistische test: Formule 49 (zie bijlage)

Op dit moment is het nog niet van belang om de between en within groups variantie te kunnen berekenen. Wel is het van belang dat er mee gerekend kan worden en afgelezen kan worden in een tabel. De between groups wordt meestal genoteerd als de mean square of groups. De within groups wordt meestal genoteerd als de mean square of error.

4. P-waarde: rechter staartkans boven de geobserveerde F- waarde, deze vervolgens opzoeken in F-distributie. Df1= (het aantal groepen van A -1)∙ (het aantal groepen van B -1). Df2 = totale sample grootte – het aantal groepen (n-g).

5. Conclusie: Bepaal aan de hand van het significantieniveau of de gevonden P-waarde kleiner of groter is. Is de P-waarde kleiner dan het significantieniveau dan verwerpen we deH0, is de P-waarde groter dan verwerpen weH0 niet. Interpreteer aan de hand van de context.

Experimenten waarbij het effect van meerdere factoren samen beschouwd worden ' -factorexperimenten " genoemd en soms worden geanalyseerd met behulp van factoriële ANOVA . Bijvoorbeeld , de academische prestaties van een student is afhankelijk van studie gewoonten van de student , maar ook van thuisomgeving. Men kan nu twee eenvoudige experimenten uitvoeren, één om het effect van studiegewoonten te onderzoeken en de andere om woonomgeving bestuderen .

De bijlage / het formuleblad dat je kunt gebruiken bij deze samenvatting kun je downloaden vanaf WorldSupporter via deze link (in .pdf)